Accuratezza, sensibilità, specificità, prevalenza, e valori predittivi positivo e negativo di un test diagnostico

Accuratezza, Sensibilità, Specificità, Prevalenza, Valore Predittivo Positivo e Negativo di un test diagnostico

Preambolo

La biologia è talmente variabile e complessa che un test diagnostico di laboratorio non sarà mai perfetto e non darà risultati sempre identici e perfetti in ripetizioni successive, anzi.

Ci possono essere fonti di errore dietro ogni angolo, da errori “locali” dovuti ai macchinari, ai reagenti, al personale che conduce il test, a errori “generali” dovuti al particolare campione di materiale biologico estratto dal paziente, a errori o variazioni nei criteri decisionali e interpretativi dell’esito del test stesso.

Per questi motivi, ogni test è accompagnato da misure di qualità che ci aiutano a capire e, sopratutto, a scegliere il test in base a condizioni e interessi per i quali utilizzarlo. A volte sarà più importante essere maggiormente sicuri di un esito negativo (per una malattia molto grave e molto infettiva sarà cruciale conoscere chi è malato, potendo quindi rischiare di dichiarare malato un sano, ma non di dichiarare sano un malato), a volte sarà più importante essere sicuri di un esito positivo (per esempio, in caso di una malattia rara con una cura sperimentale molto invasiva sarà forse preferibile rischiare di dichiarare negativa una persona che avrebbe potuto beneficiare di tale cura, piuttosto che positiva una persona per la quale altri trattamenti meno invasivi sarebbero stati più indicati).

Inoltre è bene ricordare che il risultato grezzo di un test è spesso una probabilità mentre il risultato finale di un test che ci viene comunicato è spesso un “esito” (positivo o negativo), ovvero il frutto della scelta (da parte di una persona o un team di persone) di un valore “limite” o soglia per tale probabilità (per esempio, dichiarando come “positivo” ogni campione che ha più del 50% di probabilità di esserlo, oppure più dell’80% e così via). Tali scelte sono prese proprio in accordo a quanto sopra andando a prediligere la “garanzia” di un risultato positivo o negativo (dichiarando, per esempio, tutti positivi, sempre, sicuro non sbaglieremmo mai una classe negativa, viceversa, dichiarando sempre solo negativi non sbaglieremmo mai una classe positiva). Quando si parla di accuratezza di un test e di tutte le misure che andremo a vedere, la soglia scelta è già stata individuata (non sempre è nota) ed è quindi considerata immutabile: consideriamo quindi che il test dà (a noi che lo usiamo) come risultato una categoria, e non una probabilità. Le probabilità che ci interessano non sono quindi quelle per cui il risultato del test (positivo o negativo) riscontri la realtà (nota), ma al contrario ci interessano le probabilità che la realtà (ignota a noi che eseguiamo il test) sia coerente con il risultato ottenuto dal test (noto).

Qualità e utilità di un test

Può sembrare a prima vista una cosa strana, ma i due concetti sono davvero molto diversi. Nel primo caso ci chiediamo “se un soggetto è malato, e lo sappiamo, quel’è la probabilità che il test dica che è malato?”. Questa probabilità si chiama sensibilità del test. Oppure ci possiamo chiedere “se un soggetto è sano, qual è la probabilità che il test dica che è sano?”. Questa è la specificità. Mettendo insieme le cose “Preso a caso un individuo che sappiamo essere malato o sano, con quale probabilità il test identificherà la classe corretta?” otteniamo l’accuratezza.

Per quanto queste domande siano essenziali e sembrino quelle più naturali, ci sono in realtà utili solo a giudicare la qualità del test (rispettivamente nel riconoscere i sani e i malati), e sono quindi il pane quotidiano di chi crea i test, ma con solo queste informazioni sappiamo ben poco su quanto eseguire tale test sia davvero utile a noi. Quello che ci interessa davvero a noi, in generale (se il nostro scopo è usare i test e non svilupparli) è rispondere alle domande: “se faccio il test a una persona e risulta positivo, qual è la probabilità che questa persona sia davvero malata?”. Questo è chiamato il valore predittivo positivo. D’altro canto, ci può anche interessare rispondere alla domanda “se faccio un test a una persona e risulta negativo, quel’è la probabilità che questa persona sia davvero sana?”, e questo è il valore predittivo negativo del test!

Qualità

Per rispondere alle prime due domande, quello che serve è avere un gruppo “campione” di cui sappiamo di per certo la risposta. Per quanto questo non sia del tutto banale, in caso di malattie è a posteriori abbastanza fattibile. A quel punto basterà applicare il test a tutta la base di dati noti e vedere le proporzioni con cui i risultati positivi e negativi sono correttamente o meno riconosciuti come tali. Otterremo dunque 4 numeri: vp (veri positivi, il numero di campioni positivi con test positivo), vn (veri negativi, il numero di campioni negativi con test negativo), fp (falsi positivi, il numero di campioni negativi con test positivo) e fn (falsi negativi, il numero di campioni positivi con test negativo).

La sensibilità sarà quindi il rapporto tra i test correttamente positivi e la totalità dei campioni positivi, ovvero \(\frac{vp}{vp + fn}.\) Di contro la specificità sarà il rapporto tra i test correttamente negativi e la totalità dei campioni negativi, ovvero \(\frac{vn}{vn + fp}.\) Infine, l’accuratezza sarà il rapporto tra i test corretti e tutti quelli effettuati \(\frac{vp + vn}{vp + vn + fp + fn}.\)

Utilità

Fin qui le cose sono semplici (o meglio, sono più facili nella teoria che nella pratica, e per questo spesso le si sentono più spesso). Ma, come per ottenere la sensibilità e la specificità di un test necessitiamo di avere un campione “certo” da cui partire, per ottenere i valori predittivi positivo e negativo ci serve (o meglio, ci servirebbe…) sapere qual è la porzione di persone davvero malate nella popolazione nel momento in cui eseguiamo il test, numero che prende il nome di prevalenza. Ipotizzando di aver eseguito il test a tutti (!!) questo sarebbe ottenuto da \(\frac{vp + fn}{vp + vn + fp + fn}.\) Conoscere la prevalenza è cruciale perchè il valore predittivo positivo non è altro che il rapporto tra i test correttamente positivi e tutti i test che dovrebbero risultare positivi (ovvero il numero di malati), così come il valore predittivo negativo è il rapporto tra i test correttamente negativi e tutti i test che sarebbero dovuti essere negativi (ovvero il numero di sani). Chiaro che se il nostro campione “certo” fosse tutta l’intera popolazione il valore predittivo positivo sarebbe \(\frac{vp}{vp + fp},\) così come avremmo che \(\frac{vn}{vn + fp}\) raprresenterebbe il valore predittivo negativo. Questo però non è verosimile (anche per il semplice fatto che se sapessimo la risposta certa vera per tutta la popolazione…il test non servirebbe proprio nemmeno farlo!).

Il vero problema è che senza una misura della prevalenza, possiamo dire poco o nulla.

Ipotiziamo infatti che un test sia accurato al 99% e che abbiamo 10000 persone nella nostra popolazione. Se 100 fossero malate e 9900 fossero sane (ipotizzando di saperlo), poichè il test è accurato al 99%, avrà un riscontro corretto il 99% delle volte, quindi, avremo \(vp = 99\) (malati correttamente individuati come tali, 99% di loro), \(fn = 1\) (malati erroneamente considerati sani, 1% di loro), \(fp = 99\) (sani erroneamente individuati come malati, 1% di loro), \(vn = 9801\) (sani correttamente individuati come tali, 99% di loro). Se ora pescassimo una persona a caso e le facessimo il test e questo test risultasse positivo, quale sarebbe la probabilità che la persona analizzata sia davvero positiva? Beh, i corretti positivi sono \(vp = 99\), mentre la totalità delle persone considerate positive è \(vp + fp = 99 + 99 = 198\), da cui il valore predittivo positivo risulterebbe essere pari a \(99 / 198 = 0.5\)! Ovvero, abbiamo solo il 50% di probabilità che la persona testata positiva sia davvero positiva! Di contro, se nella nostra popolazione avessimo 5000 sani e 5000 malati, avremmo invece \(vp = 4950\), \(vn = 4950\), \(fp = 50\), e \(fn = 50\), da cui il valore predittivo positivo sarebbe \[\frac{vp}{vp + fp} = \frac{50}{4950 + 50} = \frac{50}{5000} = 0.99\] che equivale esattamente al 99% di probabilità. Dunque, da un lato osserviamo che il valore di sensibilità e specificità equivalgono e possono essere considerati rispettivamente i valori predittivo positivo e negativo solamente nel caso in cui le classi siano perfettamente bilanciate; dall’altro lato, quello che è più importante capire, è che i valori predittivi positivo e negativo di un test dipendono intrinsecamente dalla quantità di persone positive e negative nella nostra popolazione di interesse o, meglio, dal rapporto tra le loro numerosità.

Nella pratica: popolazione

Questo sembra impossibile da ottenere, ma la parte interessante è che è possibile approssimarlo molto bene. In realtà quello che conta, come abbiamo appena osservato, non è tanto la quantità di persone positive e negative, ma il loro rapporto. Facendo un po’ di conti, si può infatti derivare (se siete curiosi provate a fare il conto esplicito… qui cerchiamo di tenere al minimo la matematica :-)) che il valore predittivo positivo è uguale al rapporto tra \((sensibilità * prevalenza)\) e \((sensibilità * prevalenza) + (1 - specificità) * (1 - prevalenza)\).

In queste espressioni, conosciamo davvero tutto tranne la prevalenza. Ma la prevalenza non è altro che il rapporto di persone malate nella popolazione \(\frac{vp + fn}{vp + fn + vn + fp}\), e abbiamo appena detto che non ci serve sapere quanti sono i sani e i malati, ma solo la proporzione di malati nella popolazione. Questo (su grandi numeri) è possibile approssimarlo bene analizzando un numero abbastanza grande e casuale della popolazione, in modo che risulti “rappresentativo” della popolazione stessa. Se ho un sacchetto di palline con 10000 palline, 100 nere e 9900 bianche e ne prendo 1000 a caso, è facile che circa 10 siano nere… del resto, se pesco 1000 palline e ne trovo 10 nere, posso ipotizzare che nel sacchetto circa l’1% delle palline sia nera. Magari sbaglio, ma se le pescate sono davvero casuali è molto facile che l’errore sia davvero piccolo.

Per questo è molto importante avere un riscontro casuale, generalizzato e ampio dello status di popolazione e non solo di chi finisce in ospedale o è noto sia malato. Questi infatti non ci dicono nulla dello stato dell’intera popolazione, e senza una stima accurata della prevalenza non possiamo dire nulla sul valore di un test fatto a una persona che risultasse positiva (o negativa), soprattutto nel caso in cui la malattia fosse rara o molto frequente (prossima a coprire, al contrario, l’intera popolazione). A maggior ragione, se vogliamo avere un controllo “sul controllo” (per esempio, sull’efficacia degli interventi adottati per CoViD-19) stiamo ipotizzando che la porzione di malati si sia ridotta, e tanto più questo è vero, tanto più è importante avere una stima accurata di quale porzione della popolazione sia malata. E questo è possibile farlo solamente testando un numero di persone (sane incluse, e tutte selezionate in modo casuale) sufficiente a essere rappresentativo della popolazione.

stima accurata di quale porzione della popolazione sia malata, potendolo fare solo facendo test ad abbastanza persone (sane incluse), prese in modo casuale.

Nella pratica: individuale

Visto l’interesse a livello di popolazione, passiamo al livello personale, e ipotizziamo di voler fare noi un test “per noi” e per sapere se siamo sani o malati. Entrano di nuovo in ballo il valore predittivo positivo e la nostra ignoranza sulla prevalenza. In questo caso però abbiamo uno strumento potentissimo che possiamo usare per “migliorare” la nostra convinzione sul nostro reale stato di salute: la ripetizione dell’evidenza!

Abbiamo detto infatti che il valore predittivo positivo (vpp) può essere calcolato tramite la formula \(\frac{(sens * prev)}{(sens * prev) + (1 - spec) * (1 - prev)}\). Ma guardiamo le cose non dal punto di vista della popolazione ma personale, di fatto il vpp rappresenta la nostra probabilità di essere davvero malati se risultassimo tali, la sensibilità e la specificità sono dati del test che facciamo e non possiamo toccarli né alterarli, ce li dobbiamo tenere e basta, ma la prevalenza rappresenta la porzione di malati nella popolazione generale, e può essere vista come la “probabilità di essere malati in quella popolazione”; ovvero, la probabilità che (senza sapere nulla se non che faccio parte di tale popolazione) io sia malato, cioè ancora, la probabilità che ritengo verosimile di avere nel considerarmi malato nel momento immediatamente precedente all’esecuzione del test.

Ma questo è tutto quello di cui abbiamo bisogno, perchè a questo punto, dopo aver fatto il test!, possiamo “aggiornare” la nostra conoscenza/stima/probabilità sul nostro stato di salute con l’esito del test che abbiamo fatto calcolandone il valore predittivo positivo. A questo punto, facendo un’altro test, la mia “prevalenza” (la probabilità che ho di essere malato un attimo prima di fare il (secondo) test) non sarà più la prevalenza grezza della popolazione, ma proprio il valore predittivo positivo del test appena effettuato.

Ipotizziamo di aver fatto il test e di essere risultati positivi, possiamo calcolare la probabilità di essere davvero malati calcolando il valore predittivo positivo (usando come prevalenza, anche non ottimale ma solo stimata, per esempio il numero di persone che sono risultate malate sul numero di test effettuati fin’ora). Otteniamo così la “nostra” probabilità di essere malati (che se la malattia è rara, sarà facilmente una probabilità piuttosto bassa, anche con un test molto sensibile). Nel nostro primo esempio di prima (100 malati, 9900 sani, test accurato al 99%, ipotizzando anche 99% di sensibilità e specificità), e ipotizzando di avere la stima di prevalenza 1%, otterremo che il nostro valore predittivo positivo al primo test, risultato positivo, è (lo abbiamo già calcolato)

\[\frac{(sens * prev)}{(sens * prev) + (1-spec) * (1-prev)} =\\\frac{(0.99 * 0.01)}{(0.99 * 0.01) + (1 - 0.99) * (1 - 0.01)} =\\ \frac{(0.99 * 0.01)}{(0.99 * 0.01) + (0.99 * 0.01)} =\\ 1/2 = 0.5\]

ovvero solo possiamo considerare di avere solo il 50% di probabilità di essere malati. Ora, se facciamo un secondo test (magari in un laboratorio diverso per essere sicuri di non incappare in eventuali errori sistematici del laboratorio precedente, come per esempio l’uso di un macchinario con un difetto, o di un reagente scaduto, o un operatore inesperto) e dovesse risultare nuovamente positivo allora nel calcolo del nostro (nuovo) valore predittivo positivo potremmo sfruttare e usare come prevalenza non più la prevalenza grezza della popolazione (che usavamo come “probabilità senza sapere nulla di noi” di essere malati), ma possiamo usare la stima appena fatta della probabilità che abbiamo su “noi stessi” di essere malati! Ovvero, il nostro

\[nuovo\ ppv = \frac{(sens * vecchio\ ppv)}{(sens * vecchio\ ppv) + (1 - spec) * (1 - vecchio\ ppv)} \].

Facciamo i conti e otteniamo

\[\frac{0.99 * 0.5}{(0.99 * 0.5) + (0.01 * 0.5)} = \frac{0.99 * 0.5}{0.5 * (0.99 + 0.01)} =\\ \frac{0.99 * 0.5}{0.5} = 0.99\]

ovvero il 99% di probabilità di risultare malati davvero. Notare che comunque non è ancora il 100%, e potremmo essere ancora (e se ci testassimo “tutti” 99 persone delle nostre 10000 si troverebbero in questa situazione!), essere sani!

E quindi…

…per concludere possiamo dire che conoscere la qualità di un test in termini di sensibilità/specificità/accuratezza è fondamentale, ma senza (una stima della) prevalenza non possiamo dire molto sullo stato di salute di una persona che risultasse comunque positiva o negativa a un test, nemmeno se ne conoscessimo le qualità in termini di sensibilità e specificità. Nonostante questo, in presenza di una stima anche molto approssimata potremmo comunque partire da tale stima approssimata e fare più test uno dopo l’altro, aspettando di avere il risultato precedente prima di fare il seguente, per continuare ad “aggiornare” la nostra consapevolezza personale sul nostro stato di salute calcolando in modo sempre più “evidente” la nostra stima del valore predittivo positivo che l’ultimo dei test fatti ha specificatamente nei nostri confronti, noti gli esiti di tutti i test precedenti che abbiamo effettuato.

In ogni caso, in assenza di una stima di prevalenza esatta, o di un test perfetto (100% di accuratezza, sensibilità e specificità), un solo singolo test non risulta comunque adeguato a dichiarare lo stato di salute di un soggetto, sopratutto per malattie che coinvolgano un numero lontano dal 50% della popolazione (ovvero molto più rare o frequenti). A livello di popolazione, la cosa più saggia è quindi quella di cercare di stimare più correttamente possibile la prevalenza reale mirando a testare un campione casuale rappresentativo della popolazione; a livello individuale il consiglio va sempre nella direzione di eseguire sempre almeno due test, possibilmente in centri/laboratori/con metodiche differenti, aggiornando a seconda dei paramentri specifici dei test effettuati i propri personali valori positivo e negativo e decidere in modo consapevole il proprio livello di probabilità di essere malati, così come il fare ulteriori test o riteneresi soddisfatti della propria consapevolezza (positiva o negativa che sia).

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Corrado Lanera
Fellow researcher, data scientist, and trainer
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